Satz von Plancherel

Der Satz von Plancherel ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier-Analysis, das zur Funktionalanalysis gehört. Der Satz besagt, dass die $L^{2}$ der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist, also dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte die gleiche $L^{2}$ -Norm haben. Im Jahr 1910 wurde die Aussage von Michel Plancherel bewiesen, nach dem der Satz auch benannt ist.

Aussage

Es existiert eine Isometrie $\Psi \colon L^2(\R^n) \to L^2(\R^n)$ , die unitär ist und eindeutig durch

$\Psi(f) = \mathcal{F}(f)$

für alle $f \in \mathcal{S}$ bestimmt ist, wobei ${\mathcal {F}}$ die Fourier-Transformation und $\mathcal{S}$ den Schwartz-Raum bezeichnet.

Bemerkungen

Die Gleichheit $\Psi(f) = \mathcal{F}(f)$ gilt nicht nur für $f \in \mathcal{S}$ , sondern auch für $f \in L^1(\R^n) \cap L^2(\R^n)$ , da $\mathcal{S}$ sowohl in $L^1(\R^n)$ als auch in $L^2(\R^n)$ dicht liegt. Da $\Psi$ auf $L^2(\R^n)$ und die Fourier-Transformation ${\mathcal {F}}$ auf $L^1(\R^n)$ definiert ist, kann man $\Psi$ als Fortsetzung der Fourier-Transformation auf $L^2(\R^n)$ verstehen. Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier-Transformation oder seltener Fourier-Plancherel-Transformation genannt.
Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel für Fourier-Reihen. Jedoch hängen die Sätze nicht direkt zusammen, da bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation kein Orthogonalsystem zugrunde liegt.

Basierend auf einem Artikel in:

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