Zweiseitige Laplace-Transformation

In der Mathematik bezeichnet man mit der zweiseitigen Laplace-Transformation eine Integraltransformation, die nahe verwandt mit der gewöhnlichen, zur Unterscheidung manchmal auch einseitig genannten, Laplace-Transformation ist.

Definition

Für eine reell- oder komplexwertige Funktion f(t) einer reellen Variable t ist die zweiseitige Laplace-Transformation für alle reellen Zahlen s durch das Integral

$\mathcal{B} \left\{f(t)\right\} = F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$

definiert.

Der Unterschied zur gewöhnlichen Laplace-Transformation ist die Integration von $-\infty$ bis $\infty$ statt über $(0,\infty )$ .

In der Systemtheorie spielt die zweiseitige Laplace-Transformation, im Gegensatz zur gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation, nur eine untergeordnete Rolle. Der Grund liegt darin, dass sich in der Physik und Technik ausschließlich auftretende kausale Systeme mit der einseitigen Laplace-Transformation beschreiben lassen. Bei der theoretischen Analyse von nichtkausalen Systemen, dies sind Systeme, die eine Wirkung vor der auslösenden Ursache zeigen, ist die zweiseitige Laplace-Transformation zu verwenden, welche, in Abhängigkeit von der Funktion f(t) , für $t \to -\infty$ schlechtes Konvergenzverhalten aufweist. Für kausale Systeme ist das Ergebnis der zweiseitigen Laplace-Transformation identisch zu der gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation. Die zweiseitige Laplace-Transformation tritt außerdem in der Wahrscheinlichkeitstheorie bei momenterzeugenden Funktionen auf.

Zusammenhang

Mit der Heaviside-Funktion $\epsilon(t)$ lässt sich die zweiseitige mit der einseitigen Laplace-Transformation $\mathcal{L}\left\{ \cdot \right\}$ in folgenden Zusammenhang setzen:

$\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = \mathcal{B}\left\{f(t) \epsilon(t)\right\}$

Dazu gleichwertig besteht zwischen den beiden Transformationen folgender Zusammenhang:

$\left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{L} f(t)\right\}(s) + \left\{\mathcal{L} f(-t)\right\}(-s)$

Mit der Mellin-Transformation $\mathcal{M}\left\{ \cdot \right\}$ besteht folgender Zusammenhang:

$\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-t})\right\}(s)$

und der inversen Beziehung:

$\left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln t) \right\}(s)$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de