Nilideal
Nilideal ist ein mathematischer Begriff aus der Ringtheorie.
Definition
Sei R ein Ring. Ein Ideal N von R, das nur aus nilpotenten Elementen besteht, heißt Nilideal.
Allgemeiner nennt man jede Teilmenge eines Ringes nil, wenn diese nur aus nilpotenten Elementen besteht.
Während man von einem nilpotenten Ideal 
verlangt, dass es ein 
gibt mit 
,
das heißt jedes Produkt 
der Länge
von Elementen 
ist gleich 0, wird von einem Nilideal lediglich verlangt, dass es zu jedem
Element 
ein von 
abhängiges
gibt mit 
.
Beispiele und Eigenschaften
- Jedes nilpotente Ideal ist ein Nilideal, und für endlich erzeugte Ideale
in kommutativen Ringen gilt auch die Umkehrung. Ein Beispiel für ein Nilideal,
das nicht nilpotent ist, ist das Ideal
im Ring ![{\displaystyle k[X_{1},X_{2},\ldots ]/(X_{1},X_{2}^{2},X_{3}^{3},\ldots )}](/svg/bceb54a07d679703efa6ec066c97baa862ede021.svg)
mit einem Körper 
und je einer Unbestimmten 
für jede natürliche Zahl 
.
- Nach einem Satz von Jakob Levitzki ist jedes Links- oder Rechts-Nilideal in einem links-noetherschen Ring bereits nilpotent.
- Das Primradikal ist ein Nilideal.
Wikipedia.de
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 14.09. 2019