Invariantes Polynom

In der Mathematik ist ein invariantes Polynom ein Polynom auf einem Vektorraum (siehe Symmetrische Algebra), welches unter der Wirkung einer Gruppe auf dem Vektorraum invariant ist, also

für alle $g\in G,x\in V$ erfüllt.

Invariante Polynome in der Linearen Algebra

Sei $\mathbb {K}$ ein Körper und $V=Mat(n,{\mathbb K})$ der Vektorraum aller $n\times n$ -Matrizen über $\mathbb {K}$ . Die allgemeine lineare Gruppe $GL(n,{\mathbb K})$ wirkt auf durch Konjugation:

$gx:=gxg^{{-1}}$ für $g\in GL(n,{\mathbb K}),x\in Mat(n,{\mathbb K})$ .

Invariante Polynome sind in diesem Fall Funktionen $P:Mat(n,{\mathbb K})\rightarrow {\mathbb K}$ mit $P(gxg^{{-1}})=P(x)$ für alle $g\in GL(n,{\mathbb K}),x\in Mat(n,{\mathbb K})$ .

Beispiele sind die Spur und die Determinante von Matrizen. Allgemeiner kann man (mit einer formalen Variable ) die Entwicklung

$det(tA+I)=\sum _{{k=0}}^{n}c_{k}(A)t^{k}$

betrachten und erhält invariante Polynome $c_{0},\ldots ,c_{n}$ . ( $c_{1}$ ist die Spur und $c_{n}$ die Determinante. Falls $\mathbb {K}$ algebraisch abgeschlossen ist, dann ist allgemein c_k das k-te elementarsymmetrische Polynom in den Eigenwerten von .)

Invariante Polynome in der Theorie der Lie-Gruppen

Sei eine Lie-Gruppe und ${\mathfrak {g}}$ ihre Lie-Algebra. Ein Polynom auf ${\mathfrak {g}}$ ist ein Polynom (mit reellen Koeffizienten) in den Basisvektoren von ${\mathfrak {g}}$ , siehe Symmetrische Algebra.

Die Gruppe wirkt auf sich selbst durch Konjugation: $c_{g}(h):=ghg^{{-1}}$ für alle $h\in G$ . Das Differential von c_g ist eine lineare Abbildung

$Ad(g):=D(c_{g})_{e}:{\mathfrak g}\rightarrow {\mathfrak g}$ ,

dies definiert die sogenannte adjungierte Darstellung der Gruppe auf dem Vektorraum ${\mathfrak {g}}$ .

Ein invariantes Polynom ist ein Polynom auf ${\mathfrak {g}}$ , welches invariant unter der adjungierten Wirkung ist, also

$P(Ad(g)X_{1},\ldots ,Ad(g)X_{k})=P(X_{1},\ldots ,X_{k})$ für alle $g\in G,X_{1},\ldots ,X_{k}\in {\mathfrak g}$

erfüllt. Die Algebra der invarianten Polynome wird mit $I^{*}({\mathfrak g})$ bezeichnet.

Beispiel GL(n,ℝ)

In diesem Fall ist ${\mathfrak g}=Mat(n,{\mathbb R})$ und $Ad(g)(A)=gAg^{{-1}}$ für $g\in GL(n,{\mathbb R}),A\in Mat(n,{\mathbb R})$ . Für $k\in {\mathbb N}$ sei $P_{{{\frac {k}{2}}}}$ das homogene Polynom vom Grad , dessen Wert auf $(A,\ldots ,A)$ man als Koeffizienten vom Grad n-k im Polynom

$det(\lambda {\mathbb I}-{\frac {1}{2\pi }}A)=\sum _{k}P_{{{\frac {k}{2}}}}(A,\ldots ,A)\lambda ^{{n-k}}$

erhält, für alle $A\in Mat(n,{\mathbb R})$ . (Die Werte für die $(A,\ldots ,A)$ legen ein Polynom bereits eindeutig fest.) Das Polynom $P_{{{\frac {k}{2}}}}$ heißt das ${\frac {k}{2}}$ -te Pontrjagin-Polynom.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den $P_{{{\frac {k}{2}}}}\in I^{k}({\mathfrak g}l(n,{\mathbb R}))$ erzeugt.

Beispiel G=O(n)

Für $A\in {\mathfrak o}(n)$ gilt $A=-A^{T}$ , woraus zunächst $det(\lambda {\mathbb I}-{\frac {1}{2\pi }}A)=det(\lambda {\mathbb I}+{\frac {1}{2\pi }}A)$ und damit dann $P_{{{\frac {k}{2}}}}=0$ für alle ungeraden folgt.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den $P_{k}\in I^{{2k}}({\mathfrak o}(n))$ erzeugt.

Beispiel G=SO(n)

Falls n=2m gerade ist, hat man zusätzlich noch die Pfaffsche Determinante, die für $A=(a_{ij})$ mit $a_{{ij}}=-a_{{ji}}$ definiert ist durch

$Pf(A,\ldots ,A)={\frac {1}{2^{{2m}}\pi ^{m}m!}}\sum _{{\sigma \in S_{{2m}}}}sign(\sigma )a_{{\sigma (1)\sigma (2)}}\ldots a_{{\sigma (2m-1)\sigma (2m)}}$ .

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Pontrjagin-Polynomen $P_{k}\in I^{{2k}}({\mathfrak s}o(n))$ und – falls gerade ist – der (auch als Euler-Polynom bezeichneten) Pfaffschen Determinante $Pf\in I^{{{\frac {n}{2}}}}({\mathfrak s}o(n))$ erzeugt.

Beispiel G=GL(n,ℂ)

Für $k\in {\mathbb N}$ sei $C_{{{\frac {k}{2}}}}$ das komplex-wertige homogene Polynom vom Grad , dessen Wert auf $(A,\ldots ,A)$ man als Koeffizienten vom Grad n-k im Polynom

$det(\lambda {\mathbb I}-{\frac {1}{2\pi i}}A)=\sum _{k}C_{k}(A,\ldots ,A)\lambda ^{{n-k}}$

erhält, für alle $A\in Mat(n,{\mathbb C})$ . Das Polynom $C_{k}$ heißt das -te Chern-Polynom. Die Chern- und Pontrjagin-Polynome hängen über die Gleichung $i^{k}C_{k}(A,\ldots ,A)=P_{{{\frac {k}{2}}}}(A,\ldots ,A)$ zusammen.

Die Algebra der komplex-wertigen invarianten Polynome wird von den $C_{{k}}\in I^{k}({\mathfrak g}l(n,{\mathbb C}))$ erzeugt.

Beispiel G=U(n)

Für $A\in {\mathfrak u}(n)$ ist $A=-A^{H}$ und damit $det\left(\lambda {\mathbb I}-{\frac {1}{2\pi i}}A\right)=\overline {det\left(\lambda {\mathbb I}-{\frac {1}{2\pi i}}A\right)},$ deshalb sind die Chern-Polynome auf ${\mathfrak u}(n)$ reell-wertig.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den $C_{{k}}\in I^{k}({\mathfrak u}(n))$ erzeugt.

Basierend auf einem Artikel in:

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