Lie-Ableitung

In der Analysis bezeichnet die Lie-Ableitung (nach Sophus Lie) die Ableitung eines Vektorfeldes oder allgemeiner eines Tensorfeldes entlang eines Vektorfeldes. Auf dem Raum der Vektorfelder wird durch die Lie-Ableitung eine Lie-Klammer definiert, die Jacobi-Lie-Klammer genannt wird. Der Raum der Vektorfelder wird durch diese Operation zu einer Lie-Algebra.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie und in der geometrischen Formulierung der Hamiltonschen Mechanik wird die Lie-Ableitung verwendet, um Symmetrien aufzudecken, diese zur Lösung von Problemen auszunutzen und beispielsweise Konstanten der Bewegung zu finden.

Lie-Ableitung für Funktionen

Ist ein Vektorfeld, so ist die Lie-Ableitung einer differenzierbaren Funktion die Anwendung von auf :

${\mathcal {L}}_{X}f=Xf$ .

Genauer: Es seien eine -dimensionale ${\mathcal {C}}^{\infty }$ -Mannigfaltigkeit, $f\colon M \to \R$ eine glatte Funktion und ein glattes Vektorfeld auf . Die Lie-Ableitung ${\mathcal {L}}_{X}f(p)$ der Funktion nach im Punkt $p\in M$ ist definiert als die Richtungsableitung von nach X(p) :

${\mathcal {L}}_{X}f(p):=X_{p}(f)=d_{p}f(X(p))$

In lokalen Koordinaten $(x_{1},\ldots ,x_{n})\colon U\subseteq M\to \mathbb {R} ^{n}$ lässt sich das Vektorfeld darstellen als

$X=\sum _{{j=1}}^{n}X_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$ , mit $X_{j}\colon U\to \mathbb{R}$ .

Für die Lie-Ableitung ergibt sich dann

${\mathcal {L}}_{X}f(p)=\sum _{{j=1}}^{n}X_{j}(p){\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(p)$ .

Lie-Ableitung von Vektorfeldern

Definition

Seien und zwei Vektorfelder an der -dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit und $F_{t}$ der Fluss des Vektorfelds . Dann ist die Lie-Ableitung ${\mathcal {L}}_{X}Y$ von in Richtung definiert durch

${\mathcal {L}}_{X}Y=\left.{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\right|_{{t=0}}(F_{t}^{*}Y)$ ,

wobei $F_{t}^{*}$ den Rücktransport des Flusses $F_{t}$ meint.

Eigenschaften

Lie-Klammer

Sind und wieder zwei Vektorfelder, dann gilt für die Lie-Ableitung die Identität

$(\mathcal{L}_X Y) f = X(Y(f)) - Y (X (f))$ ,

wobei eine glatte Funktion auf einer offenen Teilmenge der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit ist. Aus dieser Gleichung kann gezeigt werden, dass $(X,Y) \mapsto \mathcal{L}_X Y$ die Eigenschaften einer Lie-Klammer erfüllt. Daher schreibt man auch $[X,Y] := \mathcal{L}_X Y$ . Insbesondere bildet also die Menge der Vektorfelder mit der Lie-Ableitung eine Lie-Algebra und ihre Lie-Klammer $[\cdot ,\cdot ]$ wird Jacobi-Lie-Klammer genannt.

Manchmal definiert man die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer direkt durch den Term X(Y(f))-Y(X(f)) . Dabei wird manchmal auch die Umgekehrte Vorzeichenkonvention, also $[X,Y]:=Y\circ X-X\circ Y$ verwendet.

Lokale Koordinaten

In lokalen Koordinaten haben die Vektorfelder beziehungsweise eine Darstellungen

$X=\sum _{{j=1}}^{n}X_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$

beziehungsweise

$Y=\sum _{{j=1}}^{n}Y_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$ .

Für die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer gilt dann

$[X,Y]=\sum _{{j=1}}^{n}\left(\sum _{{k=1}}^{n}X_{k}{\frac {\partial Y_{j}}{\partial x_{k}}}-\sum _{{k=1}}^{n}Y_{k}{\frac {\partial X_{j}}{\partial x_{k}}}\right){\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\,.$

Lie-Ableitung von Tensorfeldern

Definition

Für ein Tensorfeld und ein Vektorfeld mit lokalem Fluss $\Phi_t$ ist die Lie-Ableitung von bezüglich definiert als

${\mathcal L}_{X}T={\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\Phi _{{t}}^{*}T|_{{t=0}}\,.$

Eigenschaften

Die Lie-Ableitung $\mathcal L_X$ ist $\mathbb {R}$ -linear in und für festes eine Derivation der Tensoralgebra, die mit der Kontraktion verträglich ist. Die Lie-Ableitung ist dadurch und durch ihre Werte auf Funktionen und Vektorfeldern bereits eindeutig charakterisiert.

Im Unterschied zu einem Zusammenhang ist $\mathcal L_X$ nicht ${\mathcal C}^{\infty }$ -linear in .

Eigenschaften und Lie-Algebra

Der Vektorraum ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb{R} )$ aller glatten Funktionen $M\to \mathbb{R}$ ist bezüglich der punktweisen Multiplikation eine Algebra. Die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes ist dann eine $\mathbb {R}$ -lineare Derivation ${\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb{R} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb{R} )$ , d.h., sie hat die Eigenschaften

${\mathcal {L}}_{X}$ ist $\mathbb {R}$ -linear
${\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g$ (Leibniz-Regel)

Bezeichne ${\mathcal {X}}(M)$ die Menge aller glatten Vektorfelder auf , dann ist die Lie-Ableitung auch eine $\mathbb {R}$ -lineare Derivation auf ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb{R} )\times {\mathcal {X}}(M)$ , und es gilt:

${\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y$ (Leibniz-Regel)
$[X,[Y,Z]]={\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]$ (Jacobi-Identität)

Dadurch wird ${\mathcal {X}}(M)$ zu einer Lie-Algebra.

Definition der Lie-Ableitung auf Differentialformen

Sei eine ${\mathcal {C}}^{\infty }$ -Mannigfaltigkeit, ein Vektorfeld auf und $\alpha \in \Lambda ^{{k+1}}(M)$ eine (k+1) -Differentialform auf . Durch Evaluation kann man eine Art inneres Produkt zwischen X und $\alpha$ definieren:

$(i_{X}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=(k+1)\alpha (X,X_{1},\ldots ,X_{k})\,$

und erhält die Abbildung:

$i_{X}:\Lambda ^{{k+1}}(M)\to \Lambda ^{k}(M),\;\alpha \mapsto i_{X}\alpha$

Diese Abbildung hat die folgenden Eigenschaften:

ist R-linear
für beliebiges $f\in \Lambda ^{0}(M)$ gilt $i_{{fX}}\alpha =fi_{X}\alpha$
Sei $\beta$ eine beliebige Differentialform über M und $\alpha \in \Lambda ^{k}(M)$

$i_{X}(\alpha \wedge \beta )=(i_{X}\alpha )\wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge (i_{X}\beta )$

Weiter oben wurde die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes für Funktionen über definiert:

${\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}df$

Für echte Differentialformen ist die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes wie folgt definiert:

${\mathcal {L}}_{X}\alpha =\left(i_{X}\circ d\ +d\circ i_{X}\right)\alpha$ .

Sie hat die folgenden Eigenschaften:

${\mathcal {L}}_{{fX}}\alpha =f{\mathcal {L}}_{X}\alpha +df\wedge i_{X}\alpha$
${\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )$
$[{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{{[X,Y]}}\alpha$
$[{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{{[X,Y]}}\alpha$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de