Kegelhülle

Die Kegelhülle ist ein spezieller Hüllenoperator, der jeder Teilmenge eines Vektorraumes einen Kegel zuordnet, genauer den kleinsten Kegel, der die Menge enthält.

Definition

Gegeben sei ein $\mathbb {R}$ -Vektorraum und eine beliebige Teilmenge von . Dann heißt

$\operatorname {cone} (X):=\bigcap _{X\subseteq {\mathcal {K}} \atop {\mathcal {K}}{\text{ Kegel }}}{\mathcal {K}}$

die Kegelhülle von . Sie ist der kleinste Kegel, der enthält.

Äquivalent dazu ist die Definition

$\operatorname {cone}(X):=\{\lambda x\,|\,x\in X,\,\lambda \geq 0\}$ .

Bemerkungen

Allgemeiner lässt sich die Kegelhülle für beliebige ${\mathbb {K}}$ -Vektorräume definieren, solange ${\mathbb {K}}$ ein geordneter Körper ist.
Die Notation $\operatorname {cone}(X)$ wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet, teilweise bezeichnet sie auch den kleinsten konvexen Kegel, der enthält und wird dann als konische Hülle oder positive Hülle bezeichnet.

Eigenschaften

$\operatorname {cone}$ ist ein Hüllenoperator, es gilt also für $X,Y\subset V$

$X\subset \operatorname {cone}(X)$ ,
$X\subset Y\implies \operatorname {cone}(X)\subset \operatorname {cone}(Y)$ ,
$\operatorname {cone}(\operatorname {cone}(X))=\operatorname {cone}(X)$ .

Ist $\operatorname {conv}(X)$ die konvexe Hülle von und $\operatorname {pos}(X)$ die konische Hülle, so gilt

$\operatorname {cone}(\operatorname {conv}(X))=\operatorname {conv}(\operatorname {cone}(X))=\operatorname {pos}(X)$ .

Insbesondere ist die Kegelhülle einer konvexen Menge ein konvexer Kegel.

Beispiele

Gegeben seien die beiden Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ .

Dann ist

$\operatorname {cone}(v_{1},v_{2})=\lambda _{1}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\cup \lambda _{2}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,\lambda _{2},\lambda _{2}\geq 0$

Betrachtet man den Vektorraum der $2\times 2$ Matrizen sowie als Menge aller Drehmatrizen

$R_{\alpha }={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$ ,

so ist $\operatorname {cone}(X)$ der Kegel der Matrizen, die Drehstreckungen beschreiben

$\operatorname {cone}(X)={\begin{pmatrix}\lambda \cos \alpha &-\lambda \sin \alpha \\\lambda \sin \alpha &\lambda \cos \alpha \end{pmatrix}},\,\lambda \geq 0$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de