Absorbierendes Element

Ein absorbierendes Element ist ein spezielles Element einer algebraischen Struktur.

Definition

Es sei die Trägermenge einer algebraischen Struktur mit einer zweistelligen Verknüpfung . Ein Element $o_{l}\in A$ heißt linksabsorbierend (bezüglich ), wenn für alle $a\in A$ gilt:

$o_{l}*a=o_{l}$ .

Analog heißt ein Element $o_{r}\in A$ rechtsabsorbierend (bezüglich ), wenn für alle $a\in A$ gilt:

$a*o_{r}=o_{r}$ .

Ein Element, das sowohl links- als auch rechtsabsorbierend ist (bezüglich ), nennt man absorbierend (bezüglich ), manchmal auch Nullelement (so wird aber häufig auch das neutrale Element einer (additiv notierten) Gruppe genannt!).

Eigenschaften

Zu einer zweistelligen Verknüpfung auf einer Menge gibt es höchstens ein absorbierendes Element $o\in A$ , denn für absorbierende Elemente $o,o'\in A$ gilt:

Ein links- oder rechts-absorbierendes Element $o\in A$ ist immer idempotent:

In einer Quasigruppe (und damit auch in einer Gruppe) $(A,*)$ mit mindestens zwei Elementen $a,b \in A$ mit $a\neq b$ gibt es kein (links-/rechts-)absorbierendes Element $o\in A$ , denn sonst hätte $o*x=o$ > bzw. $x*o=o$ mindestens die zwei Lösungen a,b , wäre somit nicht, wie für Quasigruppen gefordert, eindeutig lösbar.

Beispiele

Ein bekanntes Beispiel ist die Null, die im Ring der ganzen Zahlen bezüglich der Multiplikation absorbierendes Element ist: jede Zahl mit Null multipliziert ergibt Null.

In jedem beschränkten Verband gibt es zu beiden Verknüpfungen ein absorbierendes Element: Beispielsweise ist in der Aussagenlogik die wahre Aussage bezüglich der Verknüpfung mit „oder“ absorbierendes Element, die falsche Aussage ist bezüglich der Verknüpfung mit „und“ absorbierendes Element.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de