Stumpfer Winkel

Einen Winkel $\alpha$ nennt man stumpf, falls er größer als 90° und kleiner als 180° (im Gradmaß) ist, beziehungsweise wenn $\pi /2<\alpha <\pi$ (im Bogenmaß) gilt.

In der linearen Algebra heißt eine Familie von Vektoren stumpfwinklig, falls der Winkel zwischen je zwei dieser (verschiedenen) Vektoren stumpf ist. Die formale Definition lautet wie folgt:

Sei $S=\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}\subset {\mathbb {R}}^{n}$ eine Familie von Vektoren und $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ das Standardskalarprodukt auf $\mathbb {R} ^{n}$ . Dann heißt S stumpfwinklig, falls gilt $\langle v_{i},v_{j}\rangle <0$ , für $1\leq i<j\leq k$ .

Es lässt sich zeigen, dass eine stumpfwinklige Familie im $\mathbb {R} ^{n}$ höchstens n+1 Vektoren enthalten kann.

Liegt eine symmetrische Konfiguration von n+1 Vektoren im $\mathbb {R} ^{n}$ vor, so gilt für den Winkel $\varphi$ zwischen je zwei (verschiedenen) Vektoren: $\varphi =\arccos \left(-{\frac {1}{n}}\right)$ .

Im Fall n=3 beispielsweise beschreibt eine symmetrische Konfiguration von vier Vektoren gleicher Länge ein reguläres Tetraeder.

Daraus erhält man direkt den Tetraederwinkel $\tau =\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109{,}47^{\circ }$ .

Siehe auch

Arten von Winkeln

Basierend auf einem Artikel in:

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