Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus

Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus sind die Umkehrfunktionen von Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus und damit Area-Funktionen.

Schreibweisen:

$y=\operatorname {artanh}(x)=\tanh ^{{-1}}(x)$

$y=\operatorname {arcoth}(x)=\coth ^{{-1}}(x)$

Letztere wird seltener benutzt, um die Verwechslung mit dem Kehrwert des hyperbolischen (Ko-)Tangens zu vermeiden. Es ist $\operatorname {artanh}(x)=\tanh ^{{-1}}(x)\not =\tanh(x)^{{-1}}={\tfrac 1{\tanh(x)}}$ .

Definitionen

Areatangens hyperbolicus:

$\operatorname {artanh}(x):={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)\quad {\mathrm {f{\ddot {u}}r}}\quad |x|<1$

Areakotangens hyperbolicus:

$\operatorname {arcoth}(x):={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\quad {\mathrm {f{\ddot {u}}r}}\quad |x|>1$

Geometrische Definitionen

Geometrisch lässt sich der Areatangens hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung (x,y)=(0,0) und der Hyperbel $x^{2}-y^{2}=1$ überstreicht: Es seien $(x,-y)=\left(x,-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$ und $(x,y)=\left(x,+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$ Start- und Endpunkt auf der Hyperbel, dann wird von der Verbindungsstrecke die Fläche $A=\operatorname {artanh}\left({\frac {y}{x}}\right)$ überstrichen.

Eigenschaften

	Areatangens hyperbolicus	Areakotangens hyperbolicus
	Graph der Funktion artanh(x)	Graph der Funktion arcoth(x)
Definitionsbereich		$-\infty <x<-1$ $1<x<\infty$
Wertebereich	$-\infty <f(x)<\infty$	$-\infty <f(x)<\infty ;\;f(x)\neq 0$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	keine
Symmetrien	ungerade Funktion:	ungerade Funktion:
Asymptoten	$x=1\colon \,f(x)\to \infty {\text{ für }}x\to 1$ $x=-1\colon \,f(x)\to -\infty {\text{ für }}x\to -1$	$y=0\colon \,f(x)\to 0{\text{ für }}x\to \pm \infty$
Nullstellen		keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	$x=\pm 1$	$x=\pm 1$
Extrema	keine	keine
Wendepunkte		keine

Reihenentwicklungen

Taylor- und Laurent-Reihen der beiden Funktionen sind

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {artanh} (x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}+{\frac {1}{7}}x^{7}+\ldots &{}\\\operatorname {arcoth} (x)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-(2k-1)}}{2k-1}}&=x^{-1}+{\frac {1}{3}}x^{-3}+{\frac {1}{5}}x^{-5}+{\frac {1}{7}}x^{-7}+\ldots &{}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)\cdot x^{2k+1}}}&={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{3x^{3}}}+{\frac {1}{5x^{5}}}+{\frac {1}{7x^{7}}}+\ldots &{}\end{alignedat}}$

Ableitungen

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {artanh} (x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\,;\quad |x|<1$

${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\operatorname {arcoth}(x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\,;\quad |x|>1$

Integrale

Die Stammfunktionen lauten:

$\int \operatorname {artanh}(x)\,{\mathrm {d}}x=x\cdot \operatorname {artanh}(x)+{\frac 12}\ln \left(1-x^{2}\right)$

$\int \operatorname {arcoth}(x)\,{\mathrm {d}}x=x\cdot \operatorname {arcoth}(x)+{\frac 12}\ln \left(x^{2}-1\right)$

Additionstheoreme

$\operatorname {artanh}(x)\pm \operatorname {artanh}(y)=\operatorname {artanh}\left({\frac {x\pm y}{1\pm xy}}\ \right)$

$\operatorname {arcoth} (x)\pm \operatorname {arcoth} (y)=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm xy}{x\pm y}}\ \right)$

Siehe auch

Trigonometrische Funktionen

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de