Kugelsegment

Der blaue Körper ist ein Kugelsegment; der rosa Restkörper ebenfalls

Ein Kugelsegment oder Kugelabschnitt ist ein Teil eines Kugelkörpers, der durch den Schnitt mit einer Ebene gebildet wird. Ein Kugelsegment hat die Form einer Kuppel und besitzt als Grundfläche eine Kreisscheibe. Eine Halbkugel ist ein Sonderfall eines Kugelsegments, bei der die Schnittebene den Kugelmittelpunkt enthält. Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkalotte, auch Kugelkappe oder Kugelhaube genannt.

Formeln

Für die Berechnung von Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines Kugelsegments gelten die folgenden Formeln. Dabei bezeichnet den Radius der Kugel, den Radius des Basiskreises des Kugelsegments und die Höhe des Kugelsegments.

Diese drei Größen sind nicht unabhängig voneinander. Das Kugelsegment ist durch zwei beliebige dieser drei Größen bestimmt. Aus zwei der drei Größen lässt sich die dritte berechnen. In allen Formeln ist − bei ± zu nehmen, wenn das Kugelsegment weniger als die halbe Kugel groß ist, sonst + bei ±.

$(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}$

$2rh=a^{2}+h^{2}$

$h=r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$

$h^{2}=2r(r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}})-a^{2}$

Statt und reicht auch die Angabe des Winkels $\theta_0$ des Basiskreises (siehe Bild). Es gilt:

$a=r\sin(\theta _{0})\ ,\ h=r(1\pm \cos(\theta _{0})).$

Es gibt deshalb jeweils mehrere Formeln, je nachdem, welche der Größen gegeben sind.

Volumen

$V={\frac {\pi }{3}}h^{2}(3r-h)$

$V={\frac {\pi }{6}}h(3a^{2}+h^{2})$

$V={\frac {\pi }{3}}(r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}})(a^{2}+r(r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}))$

$V={\frac {\pi }{3}}r^{3}(1\pm \cos(\theta _{0}))^{2}(2-\pm \cos(\theta _{0}))$

Mantelfläche (Kugelkappe)

$M=\pi 2rh$

$M=\pi (a^{2}+h^{2})$

$M=\pi 2r(r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}})$

$M=\pi 2r^{2}(1\pm \cos(\theta _{0}))$

Oberfläche (inkl. Basiskreis)

$O=\pi (2rh+a^{2})$

$O=\pi (2a^{2}+h^{2})$

$O=\pi (a^{2}+2r(r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}))$

$O=\pi 2r^{2}(1+\sin(\theta _{0})\pm \cos(\theta _{0}))$

Sonderfälle

Für h=r ist a=r und das Kugelsegment eine Halbkugel: $V={\tfrac {2\pi }{3}}r^{3},\ M=2\pi r^{2},\ O=3\pi r^{2}.$

Für h=2r ergeben sich die Formeln für die ganze Kugel: $V={\tfrac {4\pi }{3}}r^{3},\ M=O=4\pi r^{2}\ .$

Herleitung der Formeln

Kugelkappe: Funktion für das Volumenintegral

Aufgrund des Satzes von Pythagoras gilt: $(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}$ . Auflösen der Klammer liefert:

$2rh=a^{2}+h^{2}$ .

Das Volumen eines Kugelsegments ergibt sich aus dem Volumenintegral für Rotationskörper für den Kreisbogen $y=f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}$ :

$V=\pi \int \limits _{{0}}^{{h}}f(x)^{2}\,dx=\pi \int \limits _{{0}}^{{h}}(2rx-x^{2})\,dx={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)$ .

Entsprechend ergibt sich die Mantelfläche eines Kugelsegments (ohne Basiskreis) aus der Flächenformel für Rotationsflächen

$M=2\pi \int \limits _{{0}}^{{h}}f(x)\cdot {\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx=2\pi r\int \limits _{{0}}^{{h}}\,dx=2\pi rh$ .

Und mit Basiskreis: $O=\pi (2rh+a^{2})=\pi (2a^{2}+h^{2})$ .