Catalanischer Körper

Ein catalanischer Körper oder auch dual-archimedischer Körper ist ein Körper, der sich zu einem archimedischen Körper dual verhält. So ist zum Beispiel das Rhombendodekaeder dual zum Kuboktaeder. Benannt sind die catalanischen Körper – von denen es 13 gibt – nach dem belgischen Mathematiker Eugène Charles Catalan. Die catalanischen Körper sind konvexe Polyeder.

Ein catalanischer Körper hat nur eine Art von Seitenflächen, d.h. sämtliche Seitenflächen sind zueinander kongruent. Die Seitenflächen sind nichtregelmäßige Vielecke. Andererseits gibt es mindestens zwei verschiedene Arten von Ecken (das Rhombendodekaeder hat zum Beispiel Ecken, an die drei Rhomben, und solche, an die vier Rhomben grenzen). Bei den archimedischen Körpern verhält es sich andersherum: Sie haben eine Art von Ecken und mehrere Arten von Seitenflächen.

Allen catalanischen Körpern ist gemein, dass sie eine Inkugel, die sämtliche Flächen von innen berührt, aufweisen. Außerdem existiert eine Kantenkugel, die sämtliche Kanten von innen berührt. Alle Diederwinkel eines catalanischen Körpers sind gleich.

Eine charakteristische Eigenschaft der catalanischen Körper ist die Uniformität der Flächen. Das heißt: Sind A, B zwei beliebige Seitenflächen, dann kann man den Körper so drehen oder spiegeln, dass der Körper in sich und die Seite A in die Seite B überführt wird. Diese Eigenschaft folgt aus der Uniformität der Ecken für archimedische Körper.

Übersicht der catalanischen Körper
Catalanischer Körper	Dualer Körper	Flächen	Ecken	Kanten	Flächenform	Symmetrie
Triakistetraeder	Tetraederstumpf	12	8	18	gleichschenkliges Dreieck	$T_d\$
Rhombendodekaeder	Kuboktaeder	12	14	24	Rhombus	$O_h\$
Tetrakishexaeder	Oktaederstumpf	24	14	36	gleichschenkliges Dreieck	$O_h\$
Triakisoktaeder	Hexaederstumpf	24	14	36	gleichschenkliges Dreieck	$O_h\$
Deltoidalikositetraeder	Rhombenkuboktaeder	24	26	48	Deltoid	$O_h\$
Pentagonikositetraeder (zwei spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten)	abgeschrägtes Hexaeder	24	38	60	allgemeines Fünfeck	$O\$
Hexakisoktaeder oder Disdyakisdodekaeder	Kuboktaederstumpf	48	26	72	unregelmäßiges Dreieck	$O_h\$
Rhombentriakontaeder	Ikosidodekaeder	30	32	60	Rhombus	$I_h\$
Pentakisdodekaeder	Ikosaederstumpf	60	32	90	gleichschenkliges Dreieck	$I_h\$
Triakisikosaeder	Dodekaederstumpf	60	32	90	gleichschenkliges Dreieck	$I_h\$
Deltoidalhexakontaeder	Rhombenikosidodekaeder	60	62	120	Deltoid	$I_h\$
Pentagonhexakontaeder (zwei spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten)	abgeschrägtes Dodekaeder	60	92	150	allgemeines Fünfeck	$I\$
Hexakisikosaeder oder Disdyakistriakontaeder	Ikosidodekaederstumpf	120	62	180	unregelmäßiges Dreieck	$I_h\$

Siehe auch

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