Kegelstumpf

Kegelstumpf

Kegelstumpf ist in der Geometrie die Bezeichnung für einen speziellen Rotationskörper. Ein Kegelstumpf entsteht dadurch, dass man von einem geraden Kreiskegel parallel zur Grundfläche einen kleineren Kegel abschneidet. Dieser kleinere Kegel wird als Ergänzungskegel des Kegelstumpfs bezeichnet.

Die größere der beiden parallelen Kreisflächen ist die Grundfläche , die kleinere die Deckfläche . Die dritte der begrenzenden Flächen wird als Mantelfläche bezeichnet. Diese Bezeichnungen sind zugleich für die Flächeninhalte dieser Flächen üblich. Unter der Höhe des Kegelstumpfs versteht man den Abstand von Grund- und Deckfläche.

Nahe verwandt mit dem Kegelstumpf ist der Pyramidenstumpf.

Formeln

Mit werde der Radius der Deckfläche, mit der Radius der Grundfläche bezeichnet. $\varphi$ sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse.

Formeln zum Kegelstumpf
Volumen	$V={\frac {h\cdot \pi }{3}}\cdot (R^{2}+R\cdot r+r^{2})$
Länge einer Mantellinie	$m={\sqrt {(R-r)^{2}+h^{2}}}$
Mantelfläche	$M=(R+r)\cdot \pi \cdot m$
Deckfläche	$D=\pi \cdot r^{2}$
Grundfläche	$G=\pi \cdot R^{2}$
Oberfläche	$O=\pi \cdot \left[r^{2}+R^{2}+m\cdot (r+R)\right]$
Höhe des Kegelstumpfs	$h={\frac {R-r}{\tan \varphi }}$

Beweise

Volumen

Für die Berechnung des Volumens des Kegelstumpfs wird die Höhe des Ergänzungskegels mit bezeichnet. Das Volumen des Kegelstumpfs ergibt sich dann als Differenz zwischen dem Volumen des ganzen Kreiskegels (Radius und Höhe h+k ) und dem Volumen des Ergänzungskegels (Radius und Höhe ). Mit Hilfe des Strahlensatzes (Vierstreckensatz) folgt, dass

${\frac {h+k}{R}}={\frac {k}{r}}$ .

Nennt man diesen Quotienten $\lambda$ , so gilt

$h+k=\lambda \cdot R$ und

$k=\lambda \cdot r.$

Die Höhe ist somit

$h=\lambda \cdot (R-r).$

Das Volumen des großen Kegels ist

$V_{R}={\frac {R^{2}\cdot \pi \cdot (h+k)}{3}}=\lambda \cdot R^{3}\cdot {\frac {\pi }{3}},$

das Volumen des kleinen Kegels ist

$V_{r}={\frac {r^{2}\cdot \pi \cdot k}{3}}=\lambda \cdot r^{3}\cdot {\frac {\pi }{3}},$

das Volumen des Kegelstumpfs ist die Differenz

$V=V_{R}-V_{r}=\lambda \left(R^{3}-r^{3}\right){\frac {\pi }{3}}=\lambda (R-r)\left(R^{2}+R\cdot r+r^{2}\right){\frac {\pi }{3}}={\frac {h\cdot \pi }{3}}\left(R^{2}+Rr+r^{2}\right).$

Alternativ kann das Volumen eines Kegelstumpfes mithilfe eines Integrals berechnet werden, da ein solcher Körper als ein um die x-Achse rotierter Rotationskörper betrachtet werden kann. Die Formel zur Volumenberechnung dieser Rotationskörper lautet: $V=\pi \cdot \int \limits _{a}^{b}f(x)^{2}dx$ . Setzt man hier für $f(x)={\frac {R-r}{h}}\cdot x+r$ ein und errechnet das Integral in den Grenzen von a=0 und $b=h$ , so erhält man das Volumen eines Kegelstumpfes mit den entsprechenden Parametern. Dass diese Formel der obigen Formel gleicht, ergibt sich durch folgende Rechnung:

$V=\pi \cdot \int \limits _{0}^{h}{\Big (}{\frac {R-r}{h}}\cdot x+r{\Big )}^{2}\mathrm {d} x=\pi \cdot \int \limits _{0}^{h}{\Big (}{\frac {(R-r)^{2}}{h^{2}}}\cdot x^{2}+2\cdot {\frac {R-r}{h}}\cdot x\cdot r+r^{2}{\Big )}\mathrm {d} x$

$=\pi \cdot {\Big (}{\frac {(R-r)^{2}}{3\cdot h^{2}}}\cdot x^{3}+{\frac {R-r}{h}}\cdot x^{2}\cdot r+r^{2}\cdot x{\Big |}_{x=0}^{x=h}{\Big )}=\pi \cdot {\Big (}{\frac {(R-r)^{2}}{3}}\cdot h+R\cdot r\cdot h{\Big )}$

$=\pi \cdot ({\frac {R^{2}+R\cdot r+r^{2}}{3}}\cdot h)={\frac {h\cdot \pi }{3}}\cdot \left(R^{2}+R\cdot r+r^{2}\right).$

Mantelfläche

Für die Berechnung der Mantelfläche des Kegelstumpfs werde die Mantellinie des abgeschnittenen kleinen Kegels mit bezeichnet. Laut Strahlensatz gilt

${\frac {R}{r}}\,=\,{\frac {n+m}{n}}$ ,

also

$n={\frac {m\cdot r}{R-r}}$ .

Die Mantelfläche berechnet sich nun aus der Differenz der Mantelfläche $M_{1}$ des großen Kegels (Radius und Mantellinie m+n ) und der Mantelfläche $M_{2}$ des kleinen weggeschnittenen Kegels (Radius und Mantellinie ):

$M\,=\,M_{1}-M_{2}$

$\,=\,\pi \cdot R\cdot (m+n)-\pi \cdot r\cdot n$

$\,=\,\pi \cdot m\cdot R+\pi \cdot n\cdot (R-r)$

$\,=\,\pi \cdot m\cdot R+\pi \cdot {\frac {m\cdot r}{R-r}}\cdot (R-r)$

$\,=\,\pi \cdot m\cdot R+\pi \cdot m\cdot r$

$\,=\,\pi \cdot m\cdot (R+r)$

Siehe auch: Abschnitt Mantelfläche im Artikel Kegel (Geometrie) und Abschnitt Mantelfläche des Kegelstumpfs im Artikel Mantelfläche

Oberfläche

Körpernetz eines Kegelstumpfs: Der Umfang u₁ der Deckfläche D ist gleich der Bogenlänge b₁. Der Umfang u₂ der Grundfläche G ist gleich der Bogenlänge b₂. M ist die Mantelfläche.

Die Oberfläche des Kegelstumpfs berechnet sich aus der Summe aus Deckfläche, Grundfläche und Mantelfläche:

$D\,=\,\pi \cdot r^{2}$

$G\,=\,\pi \cdot R^{2}$

$M\,=\,\pi \cdot m\cdot (r+R)$

$O\,=\,D+G+M$

$\,=\,\pi \cdot r^{2}+\pi \cdot R^{2}+\pi \cdot m\cdot (r+R)$

$\,=\,\pi \cdot \left[r^{2}+R^{2}+m\cdot (r+R)\right]$

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de