Immersion (Mathematik)

Eine nicht injektive Immersion: R → R², t ↦ (t² − 1, t · (t² − 1))

In der Differentialtopologie versteht man unter einer Immersion eine glatte Abbildung $F\colon M\rightarrow N$ zwischen Mannigfaltigkeiten und , wenn der Pushforward $F_{\ast p}\colon T_{p}M\to T_{F(p)}N$ dieser Abbildung an jedem Punkt $p\in M$ injektiv ist. Ist darüber hinaus eine topologische Einbettung, so spricht man von einer (glatten) Einbettung. In diesem Fall ist das Bild der Abbildung eine zu diffeomorphe Untermannigfaltigkeit von

Die Eigenschaften des Bildes im allgemeinen Fall werden im Eintrag Immersierte Mannigfaltigkeit beschrieben.

Immersion im euklidischen Raum

Liegt der Spezialfall $F:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ einer Abbildung zwischen euklidischen Räumen vor, dann stellt $F_{\ast }:T_{p}\mathbb {R} ^{m}\rightarrow T_{F(p)}\mathbb {R} ^{n}$ nichts anderes als die totale Ableitung bzw. die Jacobi-Matrix $DF(p)\colon \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum und eine lineare Abbildung mit einer Matrix identifiziert werden.

Immersion in Mannigfaltigkeiten

Allgemein ist eine differenzierbare Abbildung $F:M\rightarrow N$ genau dann eine Immersion, wenn für alle $p\in M$ der Rang der linearen Abbildung $F_{\ast }$ gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit ist, also gilt

$\operatorname {rang} F_{p}=\dim(\operatorname {Bild} (F_{\ast p}))=\dim M.$

Reguläre Homotopie

Zwei Immersionen $F_{0},F_{1}\colon M\to N$ heißen regulär homotop, wenn es eine Homotopie $F\colon M\times \left[0,1\right]\to N$ gibt mit $F(m,0)=F_{0}(m),F(m,1)=F_{1}(m)\forall m\in M$ so dass für jedes $t\in \left[0,1\right]$ die Abbildung

$F_{t}\colon M\to N$

$F_{t}(m)=F(m,t)$

wieder eine Immersion ist.

Mit den regulären Homotopieklassen von Immersionen beschäftigt sich die Hirsch-Smale-Theorie.

Siehe auch

Submersion

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de