Hyperrechteck

Zweidimensionale Projektion eines vierdimensionalen Hyperrechtecks.

Ein Hyperrechteck oder auch Hyperquader ist in der Geometrie die Verallgemeinerung des Rechtecks und des Quaders auf beliebig viele Dimensionen. Der Hyperwürfel ist ein Spezialfall davon.

Definition

Ein achsenparalleles Hyperrechteck im -dimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ ist das kartesische Produkt von reellen Intervallen $[a_{i},b_{i}]$ mit $a_{i}\leq b_{i}$ für $i=1,\dotsc ,n$ , das heißt

$R=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \dotsb \times [a_{n},b_{n}]$ .

Im Allgemeinen ist ein Hyperrechteck eine Figur, die kongruent ist mit einem achsenparallelen Hyperrechteck.

Beispiele

Für n=1 erhält man so ein Intervall, für n=2 ein Rechteck und für n=3 einen Quader.

Für den Spezialfall, dass alle Intervalle gleich dem Einheitsintervall [0,1] sind, erhält man den Einheitshyperwürfel

$R=\prod _{{i=1}}^{{n}}[0,1]=[0,1]^{n}$ .

Eigenschaften

Begrenzende Elemente

Jedes -dimensionale Hyperrechteck mit $n\geq 2$ hat

$2^{n}$ Ecken,
$n2^{{n-1}}$ Kanten, die rechtwinklig aufeinanderstoßen, und
Seitenflächen, die ihrerseits Hyperrechtecke der Dimension sind.

Allgemein wird ein -dimensionales Hyperrechteck von

${\binom {n}{k}}\cdot 2^{n-k}$

Hyperrechtecken der Dimension begrenzt, wobei $k\in \{0,\dotsc ,n-1\}$ ist.

Volumen und Oberfläche

Das Volumen eines Hyperrechtecks beträgt

$\operatorname {vol} (R)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\dotsm (b_{n}-a_{n})$ .

Das ist der Ausgangspunkt für die Volumenbestimmung sehr viel allgemeinerer Mengen, wie in der Konstruktion des -dimensionalen Lebesguemaßes in der Maßtheorie deutlich wird. Der Oberflächeninhalt beträgt

$\operatorname {vol}(\partial R)=2\sum _{{j=1}}^{n}\prod _{{i=1 \atop i\neq j}}^{n}(b_{i}-a_{i})$ .

Siehe auch

Hyperwürfel - Spezialisierung für gleiche Kantenlängen
Hilbertwürfel für den unendlichdimensionalen Fall
Hyperebene
Hyperraum

Basierend auf einem Artikel in:

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