Zykloide

Ein Fixpunkt auf einem rollenden Kreis zeichnet eine Zykloide

Eine Zykloide (von lat. cyclus bzw. altgriechisch κύκλος kýklos = Kreis und ειδής -eidés = ähnlich), auch zyklische Kurve, Rad(lauf)- oder Rollkurve, ist die Bahn, die ein Punkt auf dem Umfang eines Kreises beschreibt, wenn dieser Kreis auf einer Leitkurve, zum Beispiel einer Geraden, abrollt. Eine Trochoide entsteht, wenn auch die Leitkurve ein Kreis ist (Rastkreis), wobei der betrachtete Punkt auch außerhalb oder innerhalb des abrollenden Kreises (Gangkreis) liegen kann. Die Verwendung von Zykloiden und Trochoiden beim Zeichnen von Ornamenten fand durch das Spielzeug Spirograph weite Verbreitung.

Mathematische Darstellung der Zykloiden

Eine Zykloide kann als analytische Gleichung und in Parameterdarstellung dargestellt werden. Die Parameterdarstellung lautet

$x=r(t-\sin(t));\quad y=r(1-\cos(t)),$

wobei den Radius des Kreises und den Parameter („Wälzwinkel“) bezeichnet. Aus dieser lässt sich der Parameter eliminieren. Die analytische Gleichung lautet

$x(y)=r\arccos \left({\frac {r-y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}},$

beschreibt aber nur den Teil der Zykloide mit $0\leq x\leq r\pi$ .

Beliebige Zykloiden lassen sich durch folgende Parameterdarstellung berechnen:

$x=rt-c\sin(t);\quad y=r-c\cos(t),$

wobei den Abstand des erzeugenden Punktes vom Mittelpunkt angibt. Zykloiden mit c<r werden verkürzt, Zykloiden mit c>r werden verlängert genannt. Diese beliebigen Zykloide lassen sich jedoch nicht mehr alle in einer analytischen Form darstellen.

Eigenschaften der Zykloide

Eine gewöhnliche Zykloide entsteht, wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt. Anschaulich gesprochen bewegt sich ein Punkt auf einem Reifen eines fahrenden Fahrrades (näherungsweise das Ventil) auf einer gewöhnlichen Zykloide. Die Katakaustik, die Evolute und die Evolvente der Zykloide sind selbst wieder Zykloiden. Die Mittelpunkte der Krümmungskreise einer Zykloiden liegen vollständig auf ihrer Evolute.

Eine verkürzte Zykloide entsteht, wenn die Bahn eines Punktes im Inneren des Kreises betrachtet wird, anschaulich etwa der Seitenstrahler beim Fahrrad. Eine verlängerte Zykloide setzt dagegen voraus, dass ein Punkt außerhalb des abrollenden Kreises sich mit dem Kreis mitbewegt. Diese beiden Kurven heißen auch Trochoiden (altgriechisch τροχός trochos »Rad«).

Beispiele

Gewöhnliche Zykloiden werden von Punkten auf der Lauffläche eines Autoreifens oder sonstiger Laufräder (Eisenbahn, Seilbahn) und von den Punkten längs der Lauffläche rollender Murmeln beschrieben.
Verkürzte Zykloiden werden von Punkten mit einem Radius kleiner dem der Lauffläche beschrieben, etwa Punkte von Fahrradspeichen oder die Ansatzpunkte von Pleuelstangen bei einer Dampflokomotive.
Verlängerte Zykloiden werden von Punkten mit einem Radius größer dem der Lauffläche beschrieben; im Fall von Eisenbahnen wären das alle Punkte des Spurkranzes.

Die Form einer gewöhnlichen Zykloide gleicht einer Aneinanderreihung weiterer Bögen, die verlängerte Zykloide weist an den Spitzen zwischen den Bögen noch Schleifen auf, während bei den verkürzten Zykloiden die Spitzen abgerundet sind.

Eine Brachistochrone beziehungsweise Tautochrone entsteht durch Spiegelung einer Zykloide an der x-Achse.

Die Tautochronie der Zykloide

Tautochronie der Zykloide

Vorausgesetzt, dass Luftwiderstand und Reibung zu vernachlässigen sind, gelangt ein frei beweglicher Massepunkt von jedem Startpunkt auf einer umgedrehten Zykloide stets in derselben Zeit an den tiefsten Punkt. Diese Eigenschaft wird auch Tautochronie genannt (Linie gleicher Fallzeit; altgriechisch ταὐτό tauto dasselbe, χρόνος chronos Zeit).

Epi-, Peri- und Hypozykloide

Rollt der Kreis außen auf einem anderen Kreis ab, entstehen Epizykloiden (altgriechisch ἐπίκυκλος epíkyklos, »Nebenkreis«). Ihr Radius ist gleich der Summe des Radius des Leitkreises und des Durchmessers des bewegten Kreises. Historisch versuchte man die beobachteten Planeten-Bahnen mit teilweise eigentümlich anmutenden Schleifen durch die Epizykeltheorie zu erklären. Rollt ein Kreis um einen feststehenden kleineren Kreis ab, entstehen Perizykloiden. Getriebetechnisch lässt sich das erzeugende Getriebe einer Perizykloide durch das Abrollen eines Hohlrades um ein stillstehendes kleineres Rad verwirklichen.

Zwei Hypotrochoiden

Zweifache Erzeugung von Epizykloiden
Epizykloide i=3/1
Perizykloide i=3/4

Zwei Hypotrochoiden (Animation)

In der Mathematik werden beide Kurven häufig als Epizykloide bezeichnet, da sich die entstandene Kurve entweder durch das Abrollen eines Kreises auf einem anderen Kreis und auch durch das Abrollen eines Kreises um einen Kreis erzeugen lässt. Diese Erkenntnis wird zweifache Erzeugung von Zykloiden genannt.

Ellipse als spezielle Hypotrochoide bei i=2 (Animation)

Rollt der Kreis dagegen innen in dem anderen Kreis ab, entstehen Hypozykloiden. Auch jede Hypozykloide kann analog zu Epizykloiden aufgrund der zweifachen Erzeugung von einem zweiten Räderpaar erzeugt werden. Bei Hypozykloiden ist auch das zweite erzeugende Räderpaar eine Hypozykloide: bei einem der beiden Räderpaare ist der Durchmesser des umlaufenden Innenrades kleiner gleich, bei dem anderen größer gleich dem Radius des feststehenden Hohlrades.

Doppelte Erzeugung von Hypotrochoiden mit dem Übersetzungsverhältnis i=3/1 bzw. i=3/2

Doppelte Erzeugung von Hypotrochoiden mit i=3/1 bzw. i=3/2

Sowohl Epizykloiden als auch Hypozykloiden sind genau dann geschlossene Kurven, wenn das (Übersetzungs-) Verhältnis i der Radien r_R/r_G rational ist und sich durch Kürzen als gekürzter Bruch aus zwei ganzen Zahlen i_Z/i_N schreiben lässt. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das: $i_{Z}=r_{R}/\operatorname {ggT} (r_{G},r_{R})$ und $i_{N}=r_{G}/\mathrm {ggT} (r_{G},r_{R})$ . r_R ist in diesem Bruch der Radius der Rastpollbahn, also des rastenden und somit stehenden Rades und r_G ist der Radius der Gangpolbahn, nämlich des gehenden, also des umlaufenden Rades. Bei der technischen Umsetzung in Form von Zahnrädern ist die Anzahl der Zähne maßgeblich, so dass sich stets geschlossene Kurven ergeben.

Die Anzahl an Spitzen während einer Periode ist identisch mit der Zahl i_Z.

Spezielle Hypo- und Epizykloiden
Hypozykloide i=2/1 (Cardanische Kreise)
Hypozykloide i=3/1 (Deltoide)
Hypozykloide i=4/1 (Astroide)
Epizykloide i=1/1 (Herzkurve)

Spezielle Hypozykloiden:

Für i = 2 (Cardanische Kreise) ergibt sich eine geradlinige Hypozykloide, deren sämtliche Punkte auf einem Durchmesser liegen.
Für i = 3 ergibt sich eine Deltoide (Hypozykloide mit 3 Spitzen)
Für i = 4 ergibt sich eine Astroide: das Karo, wie man es von Spielkarten kennt.

Spezielle Epizykloiden:

Für i = 1 ergibt sich die Herzkurve (Kardioide)

Die Anzahl an Umläufen des sich bewegenden Rades während einer Periode ist i_N. In den Bildern wird für jeden Teil der Zykloide, der während eines Umlaufs des bewegten Rades entsteht, eine andere Farbe verwendet.

Anzahl Umläufe und Anzahl Schnittpunkte bei Zykloiden
Hypozykloide i=5/1
Hypozykloide i=5/3
Hypozykloide i=5/2
Hypozykloide i=5/4

Die Anzahl der Schnittpunkte s₀ von Epizykoiden ist gleich $i_{Z}\cdot (i_{N}-1)$ .

Diese Gleichung gilt auch für Hypozykloiden mit $i\geqq 2$ , also wenn der Durchmesser des umlaufenden Kreises kleiner gleich dem Radius des feststehenden Kreises ist.

Für Perizykloiden und für Hypozykloiden mit $i\leqq 2$ gilt $s_{0}=i_{Z}\cdot (i_{Z}-i_{N}-1)$ .

Neben den gewöhnlichen, nämich den gespitzten Zykloiden gibt es die verlängerten und somit verschlungenen sowie die verkürzten und somit gestreckten Epi-, Peri- und Hpyozykloiden, die häufig auch Epi-, Peri- und Hypotrochoiden genannt werden.

gestreckte, gespitzte und verschlungene Hypotrochoiden
gestreckte Hypotrochoide i=3/1
gespitzte Hypozykloide i=3/1
verschlungene Hypotrochoide i=3/1
verschlungene Hypotrochoide i=3/2
gespitzte Hypozykloide i=3/2
gestreckte Hypotrochoide i=3/2

Gestreckte Epi-, Peri- und Hypotrochoide

Alle gestreckten Epi-, Peri- und Hypotrochoiden weisen die gleiche Anzahl an Schnittpunkten auf wie die gespitzten, also s₀.

Die gestreckten Trochoiden lassen sich unterscheiden in Trochoiden mit Wendepunkten und ohne.

Der Krümmungsmittelpunkt von Trochoiden mit Wendepunkten wechselt in jedem Wendepunkt von einer Seite der Kurve auf die andere. Somit weisen diese Trochoiden Links- und Rechtskurven auf. Die Anzahl der Links- wie auch der Rechtskurven ist i_Z und damit gleich der Anzahl der Spitzen. Die Anzahl der Wendepunkte ist somit $2\cdot i_{Z}$ . Punkte, die gestreckte Trochoiden mit Wendepunkten erzeugen, liegen in der Nähe des Randes des umlaufenden Rades.
Punkte, die gestreckte Trochoiden ohne Wendepunkte erzeugen, liegen weiter entfernt vom Rand des umlaufenden Rades.
Getrennt werden beide Bereiche durch den Sonderfall, dass die gestreckten Trochoiden eine genäherte Gerade durchlaufen. Dies ist der Fall, wenn der erzeugende Punkt auf der BALLschen Kurve liegt und somit folgenden Abstand r_B zum Mittelpunkt des umlaufenden Rades aufweist: $r_{B}=r_{G}/(1+i_{Z}/i_{N})$ . Die Anzahl der genäherten Geraden ist gleich i_Z und damit gleich der Anzahl an Spitzen

gespitzte und gestreckte Hypotrochoiden
gespitzte Hypozykloide
gestreckte Hypotrochoide mit Wendepunkten
gestreckte Hypotrochoide mit genäherten Geraden
gestreckte Hypotrochoide ohne Wendepunkte

Verschlungene Epi-, Peri- und Hypotrochoide

Die Anzahl an Schleifen während einer Periode ist identisch mit der Zahl i_Z und somit identisch mit der Anzahl an Spitzen der Zykloide.

Verschlungene Trochoiden weisen mindestens i_Z Schnittpunkte mehr als die (gespitzte) Zykloide auf. Die genaue Anzahl an Schnittpunkten lässt sich nur ermitteln mit Hilfe von Übergangskurvenpunkten. Ein Übergangskurvenpunkt erzeugt eine Trochoide mit Berührungspunkten. Die Anzahl an Übergangskurvenpunkten und somit an Trochoiden mit Berührungspunkten ist gleich dem Integerwert von $(i_{Z}/2)$ . Somit treten keine Berührungspunkte auf, wenn i_Z gleich 1 ist.

Leider lassen sich Übergangskurvenpunkte nicht analytisch berechnen. Die Ermittlung mit Hilfe von Näherungsverfahren ist nicht kompliziert, würde aber den Rahmen dieses Artikels sprengen. Daher sollen hier nur die Phänomene zur Erzeugung der Formenvielfalt der verschlungenen Trochoiden erläutert werden. Die Formen und deren Vielfalt ist so faszinierend, dass diese Faszination von einem speziellen Spielzeug genutzt wird, nämlich dem Spirograph. Mit einem Spirograph können manuell verschiedene blumig anmutende verschlungene Hypotrochoiden mit Hilfe von Bleistiften erzeugt werden. Die Bleistifte werden durch Löcher eines in einem Hohlrad umlaufen Zahnrades gesteckt und so lang über ein Papier geführt, bis sich eine geschlossene Kurve ergibt.

Das durch geringe Variation des Abstandes des Loches zum Mittelpunkt des umlaufenden Rades immer wieder anders anmutende Hypotrochoiden entstehen, lässt sich anhand der Sonderfälle erläutern, bei denen Trochoiden mit Berührungspunkten entstehen.

verschlungene Hypotrochoiden mit i=5/1
gespitzte Hypozykloide
Verschlungene Hypotrochoide mit 5 Schnitt-Punkten
Verschlungene Hypotrochoide mit 5 Berührungs-Punkten
Verschlungene Hypotrochoide mit 15 Schnitt-Punkten
Verschlungene Hypotrochoide mit 10fach-Schnitt-Punkt und 5 Schnitt-Punkten
Verschlungene Hypotrochoide mit 15 Schnitt-Punkten

Verschlungene Trochoiden mit der Mindestanzahl an Schnittpunkten werden durch Punkte erzeugt, die in der Nähe des Außenrandes des umlaufenden Rades liegen. Die Anzahl der Schnittpunkte ist gleich der Anzahl an Spitzen plus i_Z.
Der Integerwert von ergibt die Anzahl n_B an Trochoiden mit Berührungspunkten. Ist n_B größer Null, so wird irgend wann einmal eine verschlungene Trochoide mit Berührungspunkten erzeugt, wenn der erzeugende Punkt vom Kreisumfang weg verschoben wird. Die Trochoide mit Berührungspunkten selbst weist noch eine unveränderte Anzahl an Selbstschnittpunkten auf. Aber wenn der erzeugende Punkt noch weiter weg verschoben wird, entsteht eine Trochoide ohne Berührungspunkt, deren Anzahl an Schnittpunkten sich um erhöht hat. Erzeugt das zugrunde liegende Räderpaar mehr als eine Trochoide mit Berührungspunkten, wiederholt sich das gleiche (mehrmals), wenn der erzeugende Punkt weiter vom Kreisumfang entfernt wird und dadurch wieder zu einer Stelle gelangt, in der eine Trochoide mit Berührungspunkten erzeugt wird.
- Alle Punke, die Trochoiden mit Berührungspunkten erzeugen, liegen zwischen dem Außenrand des umlaufenden Rades und einem konzentrischen Kreis durch den Mittelpunkt des stehenden Rades. Wird der erzeugende Punkt weiter weg vom Rand des umlaufenden Rades über den Mittelpunkt des stehenden Rades hinweg verschoben, ändert sich an der Anzahl der Schnittpunkte nichts mehr und es treten auch keine weiteren Sonderfälle auf.
Punkte, die vom Mittelpunkt des umlaufenden Rades weiter entfernt sind als der Abstand der Mittelpunkte beider Räder erzeugenden Trochoiden mit der maximalen Anzahl an Schnittpunkten n_Smax.
- Wenn i_Z eine gerade Zahl ist, ist die maximale Anzahl an Schnittpunkten $n_{Smax}=n_{S0}+2\cdot n_{B}\cdot i_{Z}$
- In allen anderen Fällen, nämlich wenn i_Z eine ungerade Zahl ist, gilt: $n_{Smax}=n_{S0}+(1+2\cdot n_{B})\cdot i_{Z}$
Eine Trochoide, die durch den Mittelpunkt des feststehenden Rades verläuft und mehr als einen Schnittpunkt aufweist, stellt immer einen Sonderfall dar:
- Ist i_Z eine gerade Zahl, dann weist diese verschlungene Trochoide mindestens einen Berührungspunkt auf. Gibt es mehrere Berührungspunkte, so liegen Berührungs- und Selbstschnittpunkte übereinander
- Ist i_Z eine ungerade Zahl, dann liegen mehrere Schnittpunkte der verschlungenen Trochoide übereinander.

Spezielle Trochoiden

Einen ganz speziellen Sonderfall stellen (gespitzte) Hypozykloiden mit i = 2 dar, bei denen also der Durchmesser des umlaufenden Rades gleich dem Radius des stehenden Rades ist. Diese Zykloide ist eine zweifach durchlaufene Gerade und weist gleichzeitig 2 Spitzen und Berührungspunkte auf. Alle nicht gespitzten Trochoiden sind Ellipsen und das zweite erzeugende Getriebe ist eine Hypotrochoide mit gleichem Übersetzungsverhältnis.

Hypotrochoide i=2/1
Hypotrochoide: Ellipse
Hypotrochoide: Gerade
Hypotrochoide: Ellipse

Für i = 2 einer Epitrochoide ergibt sich aus einem speziellen Punkt im Innern des rollenden Kreises die Hüllkurve im Gehäuse des Wankelmotors.

Zykloidenverzahnung in der Getriebetechnik

In der Getriebetechnik ist die Zykloidenverzahnung eine von mehreren Techniken zur Verzahnung von Zahnrädern und Zahnstangen. In Zykloidgetrieben folgt die Kontur der Kurvenscheiben äquidistant einer Zykloide.

Wichtigste Erkenntnisse seit dem 16. Jahrhundert

Das 17. Jahrhundert, das als „Goldenes Zeitalter der Analysis“ gilt, war auch für die Untersuchung der Zykloide relevant. So beschäftigten sich die besten Mathematiker und Naturwissenschaftler mit dieser besonders ästhetischen Kurve.

Die erste Veröffentlichung zu Zykloiden erfolgte 1570 durch Gerolamo Cardano, der dabei unter anderem die cardanischen Kreise beschreibt. Galileo Galilei unternahm 1598 weitere geometrische Untersuchungen von Zykloiden. Die erste Flächen- und Längenberechnung an einer Zykloide gelang 1629 dem Italiener Bonaventura Cavalieri. Weitere Forschungsanstöße lieferte im gleichen Jahr der Franzose Marin Mersenne.

Weitere Fortschritte durch Quadraturen schafften 1634 Gilles Personne de Roberval und 1635 René Descartes und Pierre de Fermat. Roberval gelang 1638 eine Tangentenkonstruktion, 1641 gelang dies auch Evangelista Torricelli. Torricelli entwickelte bis 1643 eine Quadratur in Beziehung zur Schraubenlinie. Der Engländer Christopher Wren zeigte 1658, dass die Länge einer Zykloide gleich dem Vierfachen des Durchmessers des generierenden Kreises ist.

Auf ein Preisausschreiben Newtons aus dem Jahr 1658 hin schaffte Blaise Pascal die Rektifikation, die Quadratur, die Schwerpunktbestimmung und die Kubaturen. Eine Quadratur über eine unendliche Reihe erfolgte 1664 durch Isaac Newton. Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelte 1673 die Quadratur über die Quadratrix. Der Niederländer Christiaan Huygens schaffte 1673 die Evolutenbestimmung und Tautochronie.

Durch Leibniz wurde 1686 die Integraldarstellung fertiggestellt. Die letzte wichtige Erkenntnis war 1697 die Brachistochroneneigenschaft durch Johann I Bernoulli.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de