Schnittzahl (Algebraische Geometrie)

In der Algebraischen Geometrie bezeichnet die Schnittzahl eine positive ganze Zahl, welche die Schnittmultiplizität von Schnittpunkten algebraischer Kurven bezeichnet.

Definition

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und ebene affine algebraische Kurven in . Die Schnittzahl von und im Punkt $P\in k^{2}$ wird mit $I(P,F\cap G)$ bezeichnet und ist definiert durch:

$I(P,F\cap G):=\dim _{k}\left({\mathcal {O}}_{P}(k^{2})/(F,G)\right)$

Dabei bezeichnet ${\mathcal {O}}_{P}(k^{2})$ den im Punkt lokalisierten Ring der regulären Funktionen ${\mathcal {O}}(k^{2})$ der affinen Varietät k^2 .

und schneiden sich eigentlich in , wenn sie keine gemeinsame Komponente haben, die enthält.
und schneiden sich transversal in , wenn ein Einfachpunkt beider Kurven ist und die Tangenten beider Kurven in diesem Punkt verschieden sind.

Eigenschaften

Die Schnittzahl weist folgende Eigenschaften auf:

Falls sich und in eigentlich schneiden, ist $I(P,F\cap G)$ eine nicht-negative ganze Zahl, ansonsten ist $I(P,F\cap G)=\infty$ .
$I(P,F\cap G)=0\Longleftrightarrow P\not \in F\cap G$ und $I(P,F\cap G)$ ist nur von den Komponenten von und abhängig, welche durch gehen.
Sei eine affine Koordinatentransformation von mit $T(Q)=P$ , dann gilt: $I(P,F\cap G)=I(Q,F\circ T\cap G\circ T)$
$I(P,G\cap F)=I(P,F\cap G)$
$I(P,F\cap G)\geq m_{P}(F)\cdot m_{P}(G)$ mit Gleichheit genau dann, wenn und in keine gemeinsamen Tangenten haben.
Falls $F=\prod _{i=1}^{n}F_{i}^{r_{i}}$ und $G=\prod _{i=1}^{m}G_{j}^{s_{j}}$ , dann gilt: $I(P,F\cap G)=\sum _{i,j}r_{i}s_{j}I(P,F_{i}\cap G_{j})$
$I(P,F\cap G)=I(P,F\cap (G+AF))\quad \forall A\in {\mathcal {O}}(k^{2})$
Wenn ein Einfachpunkt von ist, dann gilt $I(P,F\cap G)=\mathrm {ord} _{P}^{F}(G)$ .
Wenn und keine gemeinsamen Komponenten haben, so gilt: $\sum _{P\in k^{2}}I(P,F\cap G)=\dim _{k}\left({\mathcal {O}}(k^{2})/(F,G)\right)$

Durch diese Eigenschaften ist die Schnittzahl zugleich eindeutig bestimmt.

Beispiel

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper von Charakteristik $0$ und $F=(X-1)(Y^{2}-X^{3})^{2}$ sowie $G=(X-1)^{2}(Y^{2}-X^{3}-X^{2})$ . Man findet folgende Schnittpunkte:

$(1,y),\;y\in k$ . In diesem Fall liegen die Punkte in einer gemeinsamen Komponente von und , also gilt: $I((1,y),F\cap G)=\infty$
: Unter Benutzung der Eigenschaften der Schnittzahl berechnet man:

$I((0,0),F\cap G)=I((0,0),(Y^{2}-X^{3})^{2}\cap (Y^{2}-X^{3}-X^{2}))$

$=2\cdot I((0,0),(Y^{2}-X^{3})\cap (Y^{2}-X^{3}-X^{2}))=2\cdot I((0,0),(Y^{2}-X^{3})\cap X^{2})$

$=2\cdot m_{(0,0)}(Y^{2}-X^{3})\cdot m_{(0,0)}(-X^{2})=2\cdot 2\cdot 2=8$

Satz von Bézout

Durch Einführen homogener Koordinaten lässt sich Definition der Schnittzahl auf projektive ebene Kurven ausdehnen. Der Satz von Bézout besagt dann, dass für projektive ebene Kurven $F,G$ ohne gemeinsame Komponenten gilt:

$\sum _{P\in \mathbb {P} ^{2}(k)}I(P,F\cap G)=\deg F\cdot \deg G$

Beschränkt man sich auf affine ebene Kurven ohne gemeinsame Komponenten, gilt hingegen nur die Ungleichung:

$\sum _{P\in k^{2}}I(P,F\cap G)\leq \deg F\cdot \deg G$

Verallgemeinerung

Eine Verallgemeinerung auf Varietäten höherer Dimensionen ist möglich, siehe dazu das mit dem Leroy P. Steele Prize ausgezeichnete Werk „Intersection Theory“ von William Fulton.

Siehe auch

Schnittzahl

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de