Elliptische Funktion

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind elliptische Funktionen doppeltperiodische meromorphe Funktionen. „Doppeltperiodisch“ bedeutet, dass es im reellen Vektorraum $\mathbb {C}$ zwei linear unabhängige Perioden in Form zweier komplexer Zahlen $\omega_1,\omega_2$ gibt, sodass die beiden Periodizitätsbedingungen in Form der Funktionalgleichungen

$f(z + \omega_1) = f(z)$ und $f(z + \omega_2) = f(z)$

für alle erfüllt sind. „Meromorph“ bedeutet, dass die Funktion bis auf isolierte Pole überall regulär (holomorph = analytisch) ist, d.h. dort unendlich oft differenzierbar ist und sich lokal in eine Potenzreihe entwickeln lässt.

Die elliptischen Funktionen sind Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale.

Verallgemeinerungen der elliptischen Funktionen sind die modularen Funktionen und die hyperelliptischen Funktionen.

Beziehung zu Ellipsen

Der Name der elliptischen Funktionen weist darauf hin, dass sie zuerst bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen verwendet wurden. Eine weitere Anwendung ist die Berechnung der Schwingungsdauer eines Pendels.

Periodengitter und Grundmasche

Sind und $\omega_1,\omega_2$ wie oben zwei unabhängige komplexe Zahlen, die Perioden, so gilt auch

$f(z+\gamma)=f(z)$

für jede Linearkombination $\gamma=\mu \omega_1+\lambda \omega_2$ mit ganzen Zahlen $\mu,\lambda$ , d.h. dass sich am Funktionswert nichts ändert, wenn man eine ganzzahlige Kombination von ihnen zur Variablen addiert. Die abelsche Gruppe

$\Gamma=\langle \omega_1,\omega_2\rangle_{\mathbb Z}=\mathbb Z\omega_1+\mathbb Z\omega_2=\{\mu \omega_1+\lambda \omega_2\mid\mu,\lambda\in\mathbb Z\}$

heißt das Periodengitter. Es ist ein vollständiges Gitter in $\mathbb {C}$ .

Das von $\omega _{1}$ und $\omega_2$ aufgespannte Parallelogramm

$\{\mu\omega_1+\lambda\omega_2\mid 0\leq\mu,\lambda\leq 1\}$

heißt Grundmasche des Gitters.

Geometrisch interpretiert ist diese lineare Überlagerung der Perioden eine Kachelung der komplexen Ebene mit Parallelogrammen. Alles, was in einem Parallelogramm passiert, wiederholt sich in jedem anderen. Identifiziert man gegenüberliegende Seiten des Parallelogramms, entspricht dies topologisch einem Torus. So wie die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus zum Kreis in Beziehung stehen, gehören elliptische Funktionen zum Torus.

Einfache Eigenschaften

Eine holomorphe elliptische Funktion ist konstant: Sie ist ganz, und sie ist beschränkt, da sie auf der Grundmasche bereits alle ihre Werte annimmt und die Grundmasche kompakt ist. Nach dem Satz von Liouville ist sie also konstant.
Eine elliptische Funktion kann nicht genau einen einfachen Pol in der Grundmasche haben, da das Integral über den Rand der Grundmasche aufgrund der Periodizität verschwindet; dies schließt nach der Cauchyschen Integralformel einen einfachen Pol aus.
Die entsprechende Aussage gilt auch für genau eine einfache Nullstelle, da mit auch eine elliptische Funktion ist.

Die Weierstraßsche ℘-Funktion

Zu einem Periodengitter $\Gamma$ existiert stets eine nicht konstante elliptische Funktion, die Weierstraßsche ℘-Funktion (das Symbol $\wp$ nennt man Weierstraß-p):

$\wp(z)=\frac1{z^2}+\sum_{\gamma\in\Gamma\setminus\{0\}}\left(\frac1{(z-\gamma)^2}-\frac1{\gamma^2}\right).$

Im Wesentlichen wird also 1/z^2 durch Translationen zu einer $\Gamma$ -invarianten Funktion gemacht; die Summanden $-1/\gamma^2$ dienen lediglich dazu, die Reihe konvergent zu machen.

$\wp$ ist eine gerade elliptische Funktion, d.h. $\wp(-z)=\wp(z)$ . Ihre Ableitung

$\wp '(z)=-2\sum _{\gamma \in \Gamma }{\frac {1}{(z-\gamma )^{3}}}$

ist eine ungerade elliptische Funktion, d.h. $\wp'(-z)=-\wp'(z).$

Das zentrale Resultat der Theorie der elliptischen Funktionen ist die folgende Aussage: Jede elliptische Funktion zum Periodengitter $\Gamma$ lässt sich als rationale Funktion in $\wp$ und $\wp'$ schreiben. Jede Relation zwischen $\wp$ und $\wp'$ folgt aus der Differentialgleichung der $\wp$ -Funktion

$(\wp'(z))^2=4\wp(z)^3-g_2(\Gamma)\wp(z)-g_3(\Gamma).$

Dabei sind $g_2(\Gamma),g_3(\Gamma)$ Konstanten, die von $\Gamma$ abhängen, genauer sind $g_2(\Gamma)=60G_4(\Gamma)$ und $g_3(\Gamma)=140G_6(\Gamma)$ Eisensteinreihen zum Gitter $\Gamma$ . In algebraischer Sprache bedeutet dieser Satz: Der Körper der elliptischen Funktionen zum Periodengitter $\Gamma$ ist isomorph zum Körper

$\mathbb C(X)[Y]/(Y^2-4X^3+g_2X+g_3).$

Unter diesem Isomorphismus wird $\wp$ auf und $\wp'$ auf abgebildet.

Weierstraß'sche ℘-Funktion zum Gitter $\Gamma =[1,e^{\pi i/3}]$ im Bereich $[-2,2]\times [-1{,}125,1{,}125]i$ . Die Nullstellen erscheinen schwarz und die Polstellen weiß.
Ableitung dieser ℘-Funktion im gleichen Bereich und mit gleicher Farbgebung.
℘-Funktion zum Gitter $\Gamma =[1,{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {i}{3}}]$ im gleichen Bereich und mit gleicher Farbgebung.

Zur Geschichte der elliptischen Funktionen

Dieses Gebiet wurde bald nach der Entwicklung der Infinitesimalrechnung von dem italienischen Mathematiker Giulio di Fagnano (1682–1766) und dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707–1783) begründet. Bei der Berechnung der Bogenlänge einer Ellipse stießen sie auf Probleme, bei denen Integrale auftraten, in denen die Quadratwurzeln aus Polynomen 3. und 4. Grades auftraten. Man erkannte, dass sie sich nicht in geschlossener Form durch die bis dahin gebräuchlichen Funktionen ausdrücken ließen. Fagnano bemerkte aber eine Beziehung zwischen den Bogenlängen verschiedener spezieller Bogen, die er 1750 veröffentlichte. Euler stieß bei demselben Problem auf dieselbe Beziehung und brachte sie 1766 in einen Zusammenhang miteinander mit Hilfe eines Satzes, nach dem er die Summe gewisser derartiger Integrale wieder als ein Integral derselben Art darstellen konnte. Er hob hervor, dass man diese Integrale ebenso wie die zyklometrischen Funktionen und die Logarithmusfunktion als Symbole in die Mathematik einführen könne.

Seine Ideen wurden – abgesehen von einer Bemerkung John Landen – erst 1786 durch Adrien-Marie Legendre (1752–1833) in seinen zwei Mémoires sur les intégrations par arcs d’ellipse (Abhandlungen über die Integration durch Ellipsenbögen) weiter verfolgt. Legendre hat sich von da an immer wieder mit dieser Art von Integralen beschäftigt und nannte sie „elliptische Funktionen“. Von Legendres Arbeiten sind noch zu erwähnen: Mémoire sur les transcendantes elliptiques (1792), Exercices de calcul intégral (1811–1817), Traité des fonctions elliptiques (1825–1832). Legendre führte die elliptischen Funktionen auf drei feste Formen – Gattungen – zurück, wodurch er sich den seinerzeit sehr schwierigen Zugang zu ihrer Untersuchung wesentlich erleichterte. Seine Arbeiten blieben jedoch bis 1826 völlig unbeachtet.

Erst von da an nahmen die beiden Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–1829) und Carl Gustav Jakob Jacobi (1804–1851) diese Untersuchungen wieder auf und kamen schnell zu ungeahnten neuen Erkenntnissen. Zunächst kehrten sie das Problem um, indem sie die veränderlich gedachte obere Grenze des Integrals als Funktion des Integralwertes auffassten, also die zu den elliptischen Integralen inversen Funktionen betrachteten. Diese inversen Funktionen heißen nach einem Vorschlag Jacobis von 1829 jetzt elliptische Funktionen. Die Arbeiten Jacobis und Abels finden sich in Crelles Journal von 1826. Außerdem sind Jacobis Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829) zu nennen. Jacobi bewies 1835, dass die eindeutigen Funktionen einer Veränderlichen höchstens zwei unabhängige Perioden haben. Die elliptischen Funktionen haben genau zwei. Das von Euler in sehr spezieller Form gefundene Additionstheorem wurde in seiner allgemeinen Form 1829 von Abel ausgesprochen und bewiesen. Gauß hatte, wie er selbst bemerkte und wie sich auch hat nachweisen lassen, schon dreißig Jahre vorher viele der Eigenschaften der elliptischen Funktionen gefunden, aber nichts darüber publiziert.

Die weitere Entwicklung hat zu den hyperelliptischen Funktionen (den Abelschen Funktionen) und den Modulfunktionen geführt.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de