Mehrwertige Abhängigkeit

Eine mehrwertige Abhängigkeit (englisch multivalued dependency (MVD)) $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ beschreibt die Abhängigkeit einer Menge von Attributen $\beta$ von einer Menge aus Attributen $\alpha$ .

Definition und Erläuterung

Im Folgenden repräsentiere $t[\alpha ]$ alle Attribute (Spalten) $\alpha$ des Tupels (Zeile) dar. Eine mehrwertige Abhängigkeit $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ zwischen Attributen einer Relation liegt vor, wenn gilt:

Für zwei Tupel $t_{1}\neq t_{2}$ mit $t_{1}[\alpha ]=t_{2}[\alpha ]$ existieren in jeder zulässigen Instanz von stets zwei weitere Tupel $t_{3}\neq t_{4}$ mit:

${\begin{matrix}t_{1}[\alpha ]=t_{2}[\alpha ]=t_{3}[\alpha ]=t_{4}[\alpha ]\\t_{1}[\beta ]=t_{3}[\beta ]\\t_{2}[\beta ]=t_{4}[\beta ]\\t_{1}[R-\alpha -\beta ]=t_{4}[R-\alpha -\beta ]\\t_{2}[R-\alpha -\beta ]=t_{3}[R-\alpha -\beta ]\end{matrix}}$

Anschaulich ergibt sich daraus:

${\begin{matrix}{\text{Tupel}}&\alpha &\beta &R-\alpha -\beta \\t_{1}&a_{1}..a_{n}&b_{1}..b_{m}&d_{1}..d_{k}\\t_{2}&a_{1}..a_{n}&c_{1}..c_{m}&e_{1}..e_{k}\\t_{3}&a_{1}..a_{n}&b_{1}..b_{m}&e_{1}..e_{k}\\t_{4}&a_{1}..a_{n}&c_{1}..c_{m}&d_{1}..d_{k}\end{matrix}}$

Mehrwertige Abhängigkeiten sind trivial, falls $\beta \subseteq \alpha$ oder $\alpha \cup \beta =R$ .

Hüllenbildung

Im Zusammenhang mit der Normalisierung von Datenbanken wird oftmals die Menge aller von mehrwertigen Abhängigkeiten implizierten Abhängigkeiten benötigt. Ausgangspunkt ist die Menge bestehend aus funktionalen Abhängigkeiten und mehrwertigen Abhängigkeiten MVD . Ziel ist die Bestimmung der Hülle $D^{+}$ . Analog zu den Armstrong-Axiomen zur Erweiterung der funktionalen Abhängigkeiten werden hier nachfolgende Axiome angewendet:

Reflexivität, Erweiterung und Transitivität für funktionale Abhängigkeiten
Wiederholung: Falls $\alpha \rightarrow \beta$ , dann auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta$
Komplement: Zu jedem $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ existiert auch $\alpha \twoheadrightarrow R-\alpha -\beta$
Mehrwertige Erweiterung: Gelte $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und sei $\gamma \subseteq R$ sowie $\delta \subseteq \gamma$ , dann gilt auch $\alpha \gamma \twoheadrightarrow \beta \delta$
Mehrwertige Transitivität: Gilt $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\beta \twoheadrightarrow \gamma$ , dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \gamma -\beta$
Verschmelzung: Gilt $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ , $\gamma \subseteq \beta$ und existiert ein $\delta$ mit $\delta \subseteq R$ , $\gamma \cap \delta =\varnothing$ und $\delta \rightarrow \gamma$ , dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$

Auch hier helfen einige weitere abgeleitete Regeln:

Mehrwertige Vereinigung: Wenn $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$ , dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta \gamma$
Durchschnitt: Wenn $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$ , dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta \cap \gamma$
Differenz: Wenn $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$ , dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta -\gamma$ bzw. $\alpha \twoheadrightarrow \gamma -\beta$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de