Stabilitätstheorie

Die mathematische Stabilitätstheorie beschäftigt sich mit der Entwicklung von Störungen, die als Abweichung von bestimmten Zuständen dynamischer Systeme auftreten. Ein solcher Zustand kann etwa eine Ruhelage oder ein bestimmter Orbit sein, z.B. ein periodischer Orbit.

Neben ihrer theoretischen Bedeutung wird die Stabilitätstheorie in der Physik und in der Theoretischen Biologie angewendet sowie in technischen Gebieten, z.B. in der Technischen Mechanik oder der Regelungstechnik.

Die Lösungsansätze für die Probleme der Stabilitätstheorie sind gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen.

Mathematische Stabilitätsbegriffe

Für die Charakterisierung der Stabilität der Ruhelage eines dynamischen Systems \dot{\vec{x}} = f(\vec{x}) existieren mehrere Stabilitätsbegriffe mit jeweils etwas unterschiedlicher Aussage:

Für den Fall diskreter Systeme, die durch Differenzengleichungen {\vec  {x}}_{{k+1}}=f({\vec  {x}}_{k}) beschrieben werden, ist die Ruhelage gleichzeitig Fixpunkt der Rekursionsgleichung {\vec  {x}}_{{k+1}}=f({\vec  {x}}_{k}) und es sind ähnliche Stabilitätsdefinitionen üblich.

Lineare zeitinvariante Systeme

Bedeutung der Pole und der konjugiert komplexen Polpaare in der linken und rechten s-Halbebene

Bei linearen zeitinvarianten Systemen kann die Stabilität an der Übertragungsfunktion durch die Lage der Pole in der s-Ebene abgelesen werden:

Direkte Methode von Ljapunow und Ljapunow-Funktion

Alexander Michailowitsch Ljapunow entwickelte 1883 die sogenannte Direkte oder Zweite Methode (die Erste Methode war die Linearisierung, siehe unten), um die oben genannten Stabilitätseigenschaften an konkreten Systemen zu überprüfen. Hierzu definiert man zunächst zu einem dynamischen System der Form \dot{\vec{x}} = f(\vec{x}) und einer reellwertigen differenzierbaren Funktion V({\vec  {x}}) die orbitale Ableitung

{\dot  {V}}({\vec  {x}}):=\left\langle \operatorname {grad}\,V({\vec  {x}}),{\dot  {{\vec  {x}}}}\right\rangle =\left\langle \operatorname {grad}\,V({\vec  {x}}),f({\vec  {x}})\right\rangle .

Eine reellwertige differenzierbare Funktion V heißt Ljapunow-Funktion (für das Vektorfeld f), wenn {\dot  V}({\vec  {x}})\leq 0 für alle Punkte {\vec {x}} aus dem Phasenraum gilt. Eine Ljapunow-Funktion ist ein ziemlich starkes Hilfsmittel für einen Stabilitätsbeweis, wie die folgenden beiden Kriterien zeigen:

Erstes Kriterium von Ljapunow: Gegeben sei ein dynamisches System \dot{\vec{x}} = f(\vec{x}). Gelten die Bedingungen
  1. {\vec  {x}}_{R} ist eine Ruhelage des Systems,
  2. V({\vec  {x}}) ist eine Ljapunow-Funktion für f,
  3. V({\vec  {x}}) besitzt an der Stelle {\vec  {x}}_{R} ein striktes lokales Minimum,
dann ist die Ruhelage {\vec  {x}}_{R} stabil.
Zweites Kriterium von Ljapunow: Gilt zusätzlich zu den Voraussetzungen des ersten Kriteriums noch
4. für {\vec  {x}}\neq {\vec  {x}}_{R} in einer Umgebung der Ruhelage {\vec  {x}}_{R} gilt {\dot  V}({\vec  {x}})<0,
dann ist die Ruhelage asymptotisch stabil.

Die Verwendung einer Ljapunow-Funktion nennt man Direkte Methode, weil sich damit direkt aus dem Vektorfeld f ohne Kenntnis der Trajektorien (also ohne, dass man die Differentialgleichung lösen müsste) Aussagen über die Stabilität einer Ruhelage gewinnen lassen.

Ljapunowgleichung

Für den Fall linearer Systeme {\dot  {{\vec  {x}}}}=A{\vec  {x}} kann zum Beispiel immer eine positiv definite quadratische Form v({\vec  {x}})={\vec  {x}}^{T}R{\vec  {x}} als Ljapunow-Funktion Verwendung finden. Sie erfüllt offensichtlich die obigen Bedingungen (1) und (2). Bedingung (3) führt auf die Ljapunow-Gleichung

{\displaystyle A^{T}R+RA=-Q},

welche eine spezielle Form der Sylvester-Gleichung ist. Falls Q positiv definit ist, so ist v({\vec  {x}})={\vec  {x}}^{T}R{\vec  {x}} eine Ljapunow-Funktion. Für stabile lineare Systeme lässt sich eine solche Funktion v({\vec  {x}})={\vec  {x}}^{T}R{\vec  {x}} immer finden.

Stabilitätsanalyse linearer und nichtlinearer Systeme

Ein dynamisches System sei gegeben durch die Differentialgleichung \dot{\vec{x}} = f(\vec{x}).

Wir betrachten eine Störung \delta ={\vec  {x}}(t)-{\vec  {x}}_{R} zum Zeitpunkt t als Abweichung von der Ruhelage {\vec  {x}}_{R}:

In beiden Fällen ergibt sich für die Zeitentwicklung von \delta :

{\displaystyle {\dot {\delta }}=\mathbf {J} ({\vec {x}}_{R})\,\delta }

Diese Entwicklung wird demnach maßgeblich von den Eigenwerten der Jacobi-Matrix bestimmt. Konkret ergeben sich die folgenden drei Fälle:

Bei nichtlinearen Systemen, die nur um die Ruhelage linearisiert wurden, kann die Stabilität auch noch von Termen höherer Ordnung in der Taylorentwicklung bestimmt werden. In diesem Fall vermag die lineare Stabilitätstheorie keine Aussage zu machen.

Siehe auch Autonome Differentialgleichung.

Beispiel

Ein untersuchter Verformungszustand der Festigkeitslehre oder ein Bewegungszustand der Dynamik können ab einer zu bestimmenden Stabilitätsgrenze in einen anderen Zustand wechseln. Damit verbunden sind in der Regel nichtlinear ansteigende Verformungen oder Bewegungen, die zur Zerstörung von Tragwerken führen können. Um diese zu vermeiden, ist die Kenntnis der Stabilitätsgrenze ein wichtiges Kriterium zur Bemessung von Bauteilen.

Weitere Beispiele:

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 26.01. 2021