Diskrete Topologie

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist ein topologischer Raum diskret, wenn alle Punkte isoliert sind, d. h. wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung des Punktes keine weiteren Punkte liegen.

Definition

Es sei X eine Menge. Dann ist die diskrete Topologie auf X die Topologie, unter der alle Teilmengen von X offen sind. Ein Raum, der die diskrete Topologie trägt, heißt diskret.

Das heißt, X trägt gerade die Potenzmenge {\mathcal {P}}(X) als Topologie.

Teilmengen Y topologischer Räume X heißen diskret, wenn sie mit der induzierten Topologie diskret sind. Das ist äquivalent dazu, dass es zu jedem Punkt y\in Y eine Umgebung U\subseteq X von y gibt, die y als einzigen Punkt von Y enthält, d.h. U\cap Y=\{y\}.

Kategorientheoretischer Hintergrund

Kategorientheoretisch wäre es konsistenter, die diskrete Topologie als freie Topologie zu bezeichnen. Dazu betrachte man den Funktor F\colon {\mathbf  {Sets}}\to {\mathbf  {Top}} von der Kategorie aller Mengen (mit allen Mengenabbildungen als Morphismen) in die Kategorie aller topologischen Räume (mit allen stetigen Abbildungen als Morphismen), welcher jeder Menge X den diskreten Topologischen Raum (X,{\mathcal  {P}}(X)) zuweist und jeder Mengenabbildung dieselbe Abbildung zwischen den zugehörigen diskreten Räumen. Dieser Funktor ist nun linksadjungiert zum Vergissfunktor U\colon {\mathbf  {Top}}\to {\mathbf  {Sets}}. Üblicherweise werden die Bilder von Mengen unter solchen Funktoren jedoch als freie Konstruktionen bezeichnet, beispielsweise freie Gruppen, freie abelsche Gruppen, freie Moduln. In ähnlicher Weise ist die indiskrete Topologie als Funktor rechtsadjungiert zum oben genannten Vergissfunktor. Das heißt die indiskrete Topologie ist der duale Begriff zur diskreten Topologie.

Eigenschaften

d(x,y)={\begin{cases}0&{\mathrm  {f{\ddot  u}r}}\ x=y\\1&{\mathrm  {f{\ddot  u}r}}\ x\neq y\end{cases}}
induziert. Bezüglich dieser Metrik ist der Raum vollständig. Es kann jedoch andere Metriken geben, die ebenfalls die diskrete Topologie induzieren, bezüglich derer der Raum aber nicht vollständig ist: Ein Beispiel ist der Raum \{{\tfrac  {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \} mit der durch den Betrag gegebenen Metrik.

Siehe auch

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 12.05. 2021