Zufallsmatrix

In Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (mit Hauptanwendungen in der theoretischen Physik) ist eine Zufallsmatrix eine matrixwertige Zufallsvariable (englisch Random Matrix). Die Verteilung einer Zufallsmatrix wird zur Abgrenzung von den multivariaten Verteilungen eine matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt.

Viele wichtige Eigenschaften physikalischer Systeme können mathematisch mit Matrizen formuliert werden und Zufallsmatrizen tauchen so in Problemen der statistischen Mechanik auf. Beispielsweise kann die Wärmeleitfähigkeit eines kristallinen Festkörpers direkt aus der sogenannten dynamischen Matrix der Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung des Kristallgitters berechnet werden.

Zur Motivierung: Ungeordnete Systeme

Im Fall eines ungeordneten physikalischen Systems (z.B. bei sog. amorphem Material) sind die betreffenden Matrix-Elemente Zufallsgrößen. Die Physik dieser Systeme kann im Wesentlichen durch die Kenngrößen der jeweiligen Matrizen erfasst werden, z.B. durch Mittelwert und Schwankung der jeweiligen Größe. Von speziellem Interesse sind die Eigenvektoren und die Eigenwerte der Zufallsmatrizen.

Spektraltheorie der Zufallsmatrizen

Mathematiker und Physiker haben viele bemerkenswerte theoretische Zusammenhänge und empirische Nachweise zur Theorie der Zufallsmatrizen erarbeitet. Eines der wichtigsten Ergebnisse ist das sogenannte Wigner’sche Gesetz (Eugen Wigner): Es besagt, dass das Spektralmaß der Eigenwerte einer symmetrischen Zufallsmatrix, in der Physik bekannt als die sogenannte Zustandsdichte, einer charakteristischen Halbkreis-Verteilung genügt. Dabei geht es um N × N-Matrizen mit Gauß-verteilten Elementen im Limes N\to\infty. Das Wigner’sche Gesetz gilt nicht nur für symmetrische Matrizen (sog. orthogonales Ensemble) sondern mit leichten Modifikationen auch für unitäre oder symplektische Matrizen (sog. unitäres bzw. symplektisches Ensemble).

Anwendungen

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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 14.12. 2021